Reflecteren is prima, maar dan?

Als we reflecteren zien als een vorm van gespreksvoering met anderen of met jezelf, mondeling of schriftelijk, dan weten we dat een gesprek kan slagen als er minstens aan twee voorwaarden is voldaan:

  • het onderwerp moet voor iedere deelnemer interessant zijn, de deelnemers raken, hen bezig houden en betekenis voor hen hebben,
  • de gesprekspartners moeten over het onderwerp met elkaar willen praten, omdat ze er iets aan hebben. Ontbreekt één van deze voorwaarden, dan ontstaat er geen echt gesprek. Hoogstens obligaat gebabbel of geschrijf.

Binnen het vakgebied rekenen-wiskunde zijn er heel wat momenten waarop reflectie lukt en iets oplevert. Een paar van die momenten beschrijven we hier.

Terugontvangen tentamens

Met name tentamens die wat tegengevallen zijn, houden studenten bezig. Een nabespreking die slechts tot doel heeft om ‘het goede antwoord’ te vernemen is geen reflecteren. Reflecteren gaat verder: hoe komt het dat ik in de fout ben gegaan, of dat ik een onjuiste weg heb bewandeld? Zou me dat nog eens kunnen overkomen? Als docent beluister ik vaak in een terloops gemaakte opmerking dat er meer achter zit. In zo’n geval vraag ik wel eens: schrijf eens op, hoe jij  hebt zitten worstelen met dit probleem. Het volgende verhaal is van een student van de deeltijdopleiding, een afgestudeerd bioloog, die echt met zijn rekenvddeden geconfronteerd werd en dat al reflecterend is gaan beseffen. Hieronder zijn verslag.

Meten met trucjes

Op dinsdag 13 januari 1998 rond kwart voor negen ’s avonds ben ik bezig met het tentamen meten en meetkunde van deeltijd 2. Het tentamen is een mix van didactiek en eigen vaardigheid. Opgave 3 is aan de beurt: het omrekenen van eenheden van oppervlakte, gewicht en inhoud. Als afgestudeerd bioloog bezit ik (vind ik zelf) voldoende wiskundeen natuurkundeachtergrond om me op deze studietaak in eigen beheer te kunnen voorbereiden. ik verwacht ook niet dat de opgaven voor mij een probleem zullen zijn. En dat blijkt ook wel, totdat ik de volgende opgave bereik:

40 dm3 = 0,4??

De eenheid kubieke decimeter en het verschuiven van de komma naar links doen mij meteen denken aan het antwoord in m”. Even natellen… Hè, de komma schuift maar 2 plaatsen naar links in plaats van 3. En het ‘drietje’ in dm’ staat toch voor ‘drie plaatsen opschuiven van de komma naar links of rechts’? Dat trucje heb ik tenminste op de basisschool geleerd… ik begin te twijfelen. Zou het misschien een drukfout zijn? De rekendocent heeft geen toezicht, dus ik kan dat niet even vragen. Ik schets voor mezelf maar eens een balk met daarbij de maten in decimeters zodat de inhoud 40 dm’ wordt: een balk van 5 bij 4 bij 2 dm, inhoud dus 40 dm3. Omgerekend naar m3 wordt dat 0,04 m3. Ik snap er niets van. Nog een keer narekenen lost niets op. Omdat ik zeker weet dat er geen kubieke maat tussen dm3 en m3 zit, streep ik de 0,4 door en geef als antwoord 0,04 m3, in de veronderstelling dat de 0,4 die er stond een drukfout was. Na het tentamen blijft die 40 dm’ in mijn hoofd hangen en ineens zie ik de oplossing. 40 dm’ is natuurlijk gewoon 40 liter! Hier kan ik me iets bij voorstellen: 40 literpakken melk. En nu zie ik ook de relatie met andere inhoudsmaten dan de kubieke maten. Deze 40 liter komt overeen met 4 decaliter en 0,4 hectoliter. Maar ja, het tentamen heb ik dan al ingeleverd. Dit voorbeeld is voor mij een ervaring, een illustratie van het feit dat allerlei trucjes waar ik mee heb leren werken soms een regelrechte belemmering kunnen zijn bij het inzichtelijk rekenen. je kijkt in feite niet verder dan zo’n trucje lang is. Pas sinds ik op de Pabo zit, ben ik gaan werken met referentiematen. In eerste instantie om de kinderen duidelijk te kunnen maken wat ze zich kunnen voorstellen bij een bepaalde hoeveelheid of maat. Maar de laatste tijd maak ik van die referentiematen ook zelf steeds meer gebruik. Nog niet genoeg, dat bewijst het bovenstaande wel. Ik heb gemerkt hoezeer de vroeger aangeleerde trucjes je denkpatroon beïnvloeden en minder wendbaar maken…

Vooral in Pabo 1 worden studenten geconfronteerd met hun zelfconcept van rekenenwiskunde. Reflecteren daarop kan dit zelfbeeld scherper stellen en motiveren tot actie. Het verhaal van Luke.

Handig rekenen met friet Tijdens het eerste semester op de Pabo kregen we de module ‘Handig rekenen’. Ik herinner me dat we op een gegeven moment de som 37 + 49 = moesten uitrekenen. Ik snapte de bedoeling pas toen de docent aan ons vroeg hoe we te werk waren gegaan. Ik geloof dat deze gewone som wel op acht manieren uitgerekend was en allemaal met de juiste uitkomst. Nadat we nog een aantal soortgelijke sommen hadden gemaakt en deze besproken waren, kwam ik erachter dat ik mijn sommen altijd op één en dezelfde manier uitrekende. Andere studenten deden dat op hun manier, maar er waren ook studenten die het soms zus deden en dan weer zo. Wat het gemakkelijkst ging. Daar had ik nog nooit bij stilgestaan: rekenen deed je toch op één manier? Ik ging me toen afvragen waarom ik tijdens mijn basisschoolperiode niet zo handig had gerekend als de meesten van mijn klasgenoten. Een echt antwoord kon ik niet bedenken. Het semester ging voorbij en ik haalde mijn tentamen niet. Ik had toen echt zoiets van: dat handig rekenen zal ik wel nooit leren. Het schooljaar vloog voorbij, de hertentamens waren gepland op de eerste dagen in het nieuwe schooljaar. Om mijn studie te kunnen financieren, ging ik werken in een cafetaria op een camping. In de spitsuren kan het daar geweldig druk zijn. Daarom had de beheerder prijzen gemaakt die gemakkelijk uit het hoofd op te tellen waren. Een kassa met telmachine duurt te lang. Friet f 2,00 en f 2,50. Snacks f 1,50 en f 2,00. Gemakkelijke prijzen dus. Dit jaar waren de prijzen gestegen. Overal een kwartje bovenop. Friet f 2,25 en f 2,75. Snacks f 1,75 en f 2,25. Wat een getallen! Ik was de wanhoop nabij. Weg dat gemakkelijke tellen. Door die extra 25 cent ‘kwam het net niet meer zo mooi uit’. Wat mij betreft had de baas beter alles met 50 cent mogen verhogen. Dat zou mijn baan er heel wat gemakkelijker op hebben gemaakt. Wat voelde ik de stress opkomen bij de bestelling ‘Een friet en twee frikadellen’. f 2,25 … f 3,25 … f 4,25 … f 5,00 f 5,75. Het klopte wel, maar het duurde zo lang. Toch, na een week werken begon ik verbanden te zien tussen de verschillende prijzen. Bijvoorbeeld: 2 frikadellen + 2 kroketten = f 3,50 + f 3,50 samen f 7,00. Dat waren weer ‘mooie’ getallen. Ook meer snacks: 5 frikadellen + 6 kroketten is 10 x f 1,75 = f 17,50, nog f 1,75 erbij: f 18,50 + f 0,75 = f 19,25. 5 frikadellen en 4 kroketten: 10 x f 1,75 = f 17,50, dan f 1,75 eraf: f 16,50  f 0,75 = f 15,75. Ik merkte dat ik inzicht kreeg in het handig bij elkaar nemen en ik kreeg er routine in. Ik leerde zelfs het tafeltje van 1,75 spelenderwijs van buiten en moest weer denken aan de lessen ‘handig rekenen’ op de Pabo. Na nog twee maanden gewerkt te hebben en ook met andere combinaties te hebben ‘gegoocheld’, merkte ik dat ik in het dagelijks leven handiger ben gaan rekenen.

Startmotor bij een nieuwe studietaak Voorafgaand aan een nieuwe studietaak confronteer ik de studenten geregeld met een probleem. Een probleem dat fungeert als instap bij de eerste bijeenkomst. Het gaat dan om hun eigen oplossingen. Onderstaand is een voorbeeld van de start van de studietaak meten.

Het oppervlakte van Nederland-probleem:

Iemand zegt dat hij in de encyclopedie heeft gelezen dat de oppervlakte van Nederland 36842 m is. Wat vind jij daarvan?

Hieronder een selectie van de oplossingen. De kopjes van de categorieën zijn, na analyse, samen met de studenten bedacht.

Geen heuristiek: geen idee van een aanpak

  • Ik kan me hier echt geen voorstelling van maken. Ik weet dat Nederland een klein land is, maar hoeveel m’, dat zou ik niet weten.
  • Het is moeilijk om de oppervlakte van Nederland uit te rekenen. Met al zijn losse eilandjes en Limburg als uitsteeksel en het IJsselmeer erin. Het is geen land met een vorm waar je iets mee kunt uitrekenen. Als iets geen lengte en breedte heeft (geen rechthoek is) dan is de oppervlakte niet te bepalen, hooguit te schatten.
  • Die oppervlakte is nooit helemaal uit te rekenen, vooral niet als het gaat over zulke gekke vormen. Het is slechts een benadering.
  • Ik vind dat je dat niet precies kunt zeggen. Nederland is niet zo recht dat je dat kunt meten. Er zitten overal inhammen in het land. Het is niet mogelijk om de lengte en de breedte van Nederland precies te bepalen, omdat de grenzen geen rechte lijnen zijn.

Heuristiek: een notie van ‘lengte keer breedte’

  • Er staat geen verdere uitleg bij hoe de oppervlakte van Nederland is gemeten. L x B? Welke lengte hebben ze genomen en welke breedte? Het getal op zich zegt vrij weinig.

Heuristiek: lengte keer breedte gerelateerd aan voorstelbare referentiemaat.

  • Nederland is klein, maar ook weer niet zo klein. Als Nederland een oppervlakte zou hebben van afgerond

Oppervlakte 36842 m2

35000 m2, dan zou dat een gebied van 70 m bij 500 m kunnen zijn. En dat is wel erg klein. Het is dus onzin wat er staat.

  • Oppervlakte is lengte keer breedte. Stel dat van noord naar zuid is 200 km en van west naar oost is 150 km. Oppervlakte = L x B = 150 x 200 =

30.000 km’. Dus de oppervlakte van Nederland moet groter zijn.

Heuristiek met ruitjespapier

  • Wil je dit onderzoeken, pak dan een landkaart van Nederland op schaal. Teken deze over op ruitjespapier. Tel de hokjes en je kent de oppervlakte. Heuristiek: komma’s schuiven zodat er een voorstelbare oppervlakte ontstaat.
  • 36842 m2 is 0,036842 km2. Dat kan natuurlijk nooit! Dan zou Nederland geen enkele vierkante km groot zijn. Terwijl je van Maastricht naar Groningen zo’n 400 km rijdt en van de zee, bijvoorbeeld van Rotterdam naar de Duitse grens ook al gauw zo’n 300 km rijdt. (Hier was een schets van Nederland bijgevoegd met een horizontale pijl van 300 km en een verticale pijl van 400 km.) • 36842 m2 = 0,03682 km2. Dat kan niet. De oppervlakte van Nederland is duizenden malen groter. • Dat lijkt mij zeer onwaarschijnlijk. 36842 m2 = 368,42 hm’ = 3,6842 ha. 1 ha = 2 voetbalvelden. Dan zou Nederland maar 7 voetbalvelden groot zijn.
  • 36842 m2 = 368,42 dam’ = 3,6842 hm’ = 0,036842 km2. Dat is nog niet eens een fatsoenlijke km in de lengte en de breedte!

Heel persoonlijke referenties, referentiematen.

  • Dat wil zeggen dat de oppervlakte van Nederland 3,6842 ha is. Een beetje agrarisch bedrijf is zo’n 25 ha. (Deze student heeft thuis een agrarisch bedrijf.)
  • Onzin. Nederland is klein, maar ook weer niet zo klein. Een voetbalveld is 80 m bij 100 m en dat is al 8000 m2.

Alle oplossingen werden aan groepjes van drie studenten voorgelegd. De opdracht was te achterhalen hoe de gedachtegang bij de diverse oplossingen geweest was, respectievelijk

geweest zou kunnen zijn en een indeling in categorieën te maken. De studenten zijn een half uur geïnteresseerd bezig geweest: het waren hun eigen oplossingen en de diversiteit ervan was voor hun verrassend. Enkele reacties: ‘Ik heb altijd oppervlaktesommen gemaakt met mooie rechte stukken, waarvan de lengte en breedte bekend waren: tuintjes, een tafelblad, een speelplaats.’ ‘Ik heb er eigenlijk nooit bij stilgestaan dat je van dingen met zulke gekke vormen de oppervlakte kunt uitrekenen, er zelfs nooit aan gedacht dat die een oppervlakte hebben. Wel bij een cirkel, maar daar is een formule voor met pi of zoiets.’ ‘In ons groepsgesprek heb ik geleerd dat, als je de oppervlakte van een stuk kent, bijvoorbeeld 50 m2, je de lengte en de breedte ervan kunt uitrekenen. Dat kan 10 m bij 5 m zijn of iets heel anders, 6 m bij 8 m en een beetje.’ ‘Ik heb altijd gemeend dat het tweetje bij m’ betekende, dat iets een lengte en een breedte had, maar dat hoeft blijkbaar niet. Denk maar aan de cirkel, of aan de oppervlakte van Nederland.’ ‘Ik snap nog altijd niet waarom het bij vierkanten met twee nullen erbij of eraf gaat, bij gewone meters met een nul en bij kubieke met drie nullen. En ik vergeet telkens weer of die nullen erbij of eraf moeten.’ Het vervolg op dit gesprek was een consensus vinden over het indelen van de oplossingen in categorieën. Bovenstaande kopjes zijn daarvan het resultaat.

Tot slot is er samen de volgende activiteit uitgevoerd: De studenten kregen een kaartje van Nederland, schaal 1 : 1.500.000 en een transparant met daarop hokjes van 1 cm bij 1 cm. De opdracht was om de oppervlakte van Nederland te bepalen. Het tellen van de hokjes resulteerde, na wat vergelijkende schattingen van gedeeltelijke hokjes, in een aantal van 135. Het schaalbegrip moest bij enkele studenten weer even opgepoetst worden om te begrijpen dat 1 hokje van 1 cm bij 1 cm overeenkwam met een hok van in werkelijkheid van 15 km bij 15 km, dus 225 km2. Nederland zou dan een oppervlakte moeten hebben van ongeveer 135 x 225 km2 en dat is 30375 km’. Controle in een aardrijkskundeboek leverde op 33810 km’.

En nu verder De studenten maken een eerste beschrijving van hun individuele leerdoelen: Welke onderdelen op het gebied van meten (lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht) wil je in ieder geval gaan bestuderen en welke praktijkopdrachten wil je gaan uitvoeren? De leerdoelen varieerden:

  • de rijtjes van het metriek stelsel leren;
  • meetsommen uit groep 8 kunnen maken;
  • weten hoe de leerlijn van meten op de basisschool is;
  • hoe wordt er gemeten bij kleuters. Alle studenten werken verplicht het hoofdstuk ‘Kavelland’ door, uit Wiskunde & Didactiek, plus een aantal artikelen. Vervolgens vullen ze hun aanvankelijke leerdoelen aan met het beschrijven wat ze ‘nog meer’ geleerd hebben.
Lees meer

Hoe schrijf je een scriptie?

Hoe schrijf je een scriptie? Welke hulpmiddelen zijn er nodig om een succesvolle scriptie te schrijven? Wat moet je weten?

Zie je er tegenop om een scriptie/thesis te schrijven? Of beschouw je het juist als een uitdaging en bekroning van je schoolperiode? Om je een duwtje in de rug te geven kun je hieronder lezen hoe het traject van het schrijven van een scriptie eruit kan zien. Dit stuk dient gelezen te worden als hulpmiddel bij het schrijven van een scriptie.

 

 

Lees meer

Swot analyse

Dit artikel geeft uitgebreide informatie wat een swot analyse inhoudt en hoe deze tot stand komt. Nadat een swot analyse is gemaakt kan er een confrontatiematrix ingevuld worden. Beide tools worden al lange tijden toegepast en zijn inmiddels onmisbaar in elke strategische marketing plannen.

Lees meer

Scriptie tips om sneller af te studeren

Slimmer een scriptie schrijven.
Naast het bezoeken van gezellige feestjes, een (bij)baan en vooral veel gezelligheid, wil je ook verder komen in je studie. Om je studie uiteindelijk af te ronden, moet je een scriptie schrijven. Natuurlijk heb je gedurende je studie al veel uitdagingen gekend, zoals het schrijven van groepsopdracht of een paper. Bij Bij een scriptie wordt er echter iets anders van je verwacht: geheel zelfstandig een uitgebreid onderzoek verrichten. Hoe schrijf je nu een goede scriptie wanneer de eindstreep nog zo ver weg lijkt of je geen idee hebt hoe je nu verder moet?

Lees meer

Wat houdt de functie receptioniste precies in?

Receptioniste is een beroep dat bij bijna elk groot bedrijf uitgeoefend wordt. Voor de functie receptioniste wordt ook vaak de benaming telefoniste gebruikt. In principe beoefenen een receptioniste en telefoniste dezelfde werkzaamheden, het woord receptioniste maakt de functie alleen wat breder dan slechts het beantwoorden van telefoontjes welke indruk je krijgt bij een telefoniste.

Lees meer

Werken aan je persoonlijke ontwikkeling? Welke cursus volgen?

Persoonlijke ontwikkeling is belangrijk en essentieel voor iedereen. Niet alleen op werkgebied komt het van pas (bijvoorbeeld tijdens een sollicitatie), ook in jouw sociale omgang met mensen is het belangrijk om je te blijven ontwikkelen. Een cursus kan een goede stap zijn om jezelf te ontwikkelen. In dit artikel gaan we enkele cursussen toelichten die voor jou van belang kunnen zijn.

Lees meer

Waarom zouden kinderen een typecursus nemen?

Kinderen brengen tegenwoordig veel tijd door met audiovisuele media zoals films, tv-programma’s, applicaties, games en het internet. Dit soort media wordt steeds vaker gebruikt en er zijn al grote verschillen ten opzichte van vroeger. Het aanbod is zeer groot en breidt zich elke dag uit. Er worden dagelijks nieuwe films, games en applicaties uitgebracht.

Lees meer